Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: II Analysis

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Das vorliegende Buch über Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler basiert auf langjährigen Erfahrungen mit dem gleichnamigen Kurs der Fernuniversität Hagen. Die Themenauswahl ist so getroffen, daß sie für die Wirtschafts-, Sozial- und Ingenieurwissenschaften die notwendigen Kenntnisse liefert. Behandelt werden Funktionen einer und mehrerer Variablen, die Differential- und Integralrechnung. Jedes Kapitel ist grundsätzlich in zwei Teile unterteilt, im ersten Teil werden die angesprochenen Themenkreise durch ...

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Das vorliegende Buch über Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler basiert auf langjährigen Erfahrungen mit dem gleichnamigen Kurs der Fernuniversität Hagen. Die Themenauswahl ist so getroffen, daß sie für die Wirtschafts-, Sozial- und Ingenieurwissenschaften die notwendigen Kenntnisse liefert. Behandelt werden Funktionen einer und mehrerer Variablen, die Differential- und Integralrechnung. Jedes Kapitel ist grundsätzlich in zwei Teile unterteilt, im ersten Teil werden die angesprochenen Themenkreise durch motivierende Beispiele eingeführt, im zweiten Teil mathematisch behandelt. Die Darstellung der Inhalte richtet sich insbesondere an die Zielgruppe der Selbststudierenden. Das bedeutet, daß jeder, der die Analysis als Grundlage für ein weiteres Studium braucht, durch dieses Buch ein Werk in die Hand bekommt, das es ihm ermöglicht, ohne fremde Hilfe, ohne Vorlesungen oder Vorträge zu besuchen, im Selbststudium die notwendigen Kenntnisse zu erwerben. Die didaktischen Erfahrungen, die an der Fernuniversität in jahrelanger Arbeit gesammelt wurden, werden in diesem Buch einem breiten Leserkreis zugänglich gemacht.

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Table of Contents

6 Funktionen einer Variablen.- 6.1 Grundbegriffe.- 6.1.1 Der Funktionsbegriff.- 6.1.2 Analytische und graphische Darstellung von Funktionen.- 6.1.3 Verknüpfung von Funktionen.- 6.1.4 Monotone und beschränkte Funktionen.- 6.1.5 Umkehrfunktion.- 6.2 Klassen von Funktionen.- 6.2.1 Einige spezielle Funktionen.- 6.2.2 Polynome.- 6.2.3 Rationale Funktionen.- 6.2.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen, trigonometrische Funktionen.- 6.3 Grenzwerte.- 6.3.1 Folgen.- 6.3.2 Umgebungen.- 6.3.3 Grenzwert bei Folgen.- 6.3.4 Grenzwert einer Funktion für x— ±—.- 6.3.5 Grenzwert einer Funktion für x— x0.- 6.3.6 Rechnen mit Grenzwerten bei Funktionen.- 6.4 Stetigkeit.- 6.4.1 Stetige und nichtstetige Funktionen in der Ökonomie.- 6.4.2 Stetigkeit an einer Stelle x0.- 6.4.3 Globale Stetigkeit.- 6.4.4 Verknüpfung stetiger Funktionen.- 6.4.5 Stetigkeit spezieller Funktionen.- 6.4.6 Eigenschaften stetiger Funktionen.- 7 Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen.- 7.1 Einführung in die Differentialrechnung.- 7.1.1 Grundlagen.- 7.1.2 Ableitungsregeln.- 7.2 Das Differential einer Funktion.- 7.3 Kurvendiskussion.- 7.3.1 Extremstellen.- 7.3.2 Zusammenhang zwischen dem Monotonieverhalten einer Funktion und deren Ableitungsfunktion.- 7.3.3 Zusammenhang zwischen dem Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen und der Ableitungsfunktion.- 7.3.4 Beispiel für eine systematische Kurvendiskussion.- 7.4 Die Berechnung von Grenzwerten bei unbestimmten Ausdrücken (Regel von de l’Hospital).- 7.5 Approximation von Funktionen.- 7.5.1 Problemstellung.- 7.5.2 Approximation von Funktionen durch Polynome.- 7.5.3 Fehlerabschätzung.- VII Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen.- VII-2 Das Differential.- VII-3 Kurvendiskussion.- VII-4 Die Berechnung von Grenzwerten bei unbestimmten Ausdrücken (Regel von de l’Hospital).- VII-5 Approximation von Funktionen.- 8 Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variablen.- 8.1 Der Begriff der stetigen Funktion mehrerer Variablen.- 8.2 Partielle Differentiation.- 8.2.1 Begriff der partiellen Ableitung.- 8.2.2 Begriff des Gradienten.- 8.3 Begriff des totalen Differentials.- 8.3.1 Die partiellen Differentiale.- 8.3.2 Das totale Differential.- 8.4 Partielle Ableitungen höherer Ordnung.- 8.5 Ableitung impliziter Funktionen.- 8.6 Homogene Funktionen, Eulersche Formel.- 8.7 Kriterien für Konvexität und Konkavität.- 8.8 Taylorreihen für Funktionen zweier Variablen.- VIII Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variablen.- VIII-1 Begriff der stetigen Funktion mehrerer Variablen.- VIII-2 Partielle Differentiation.- VIII-2.1 Begriff der partiellen Ableitung.- VIII-2.2 Begriff des Gradienten.- VIII-3 Begriff des totalen Differentials.- VIII-4 Partielle Ableitungen höherer Ordnung.- VIII-5 Ableitung impliziter Funktionen.- VIII-6 Homogene Funktionen, Eulersche Formel.- VIII-7 Kriterien für Konvexität und Konkavität.- VIII-8 Taylorreihen für Funktionen mehrerer Variablen.- 9 Extrema bei Funktionen mehrerer Variablen.- 9.1 Lokale und globale Extremwerte.- 9.1.1 Notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz lokaler Extrema.- 9.2 Sattelpunkte und weitere Besonderheiten.- 9.3 Extremwerte unter Nebenbedingungen.- 9.3.1 Variablensubstitution.- 9.3.2 Der Lagrange-Ansatz.- 9.3.3 Die Kuhn-Tucker-Bedingungen.- IX Extrema bei Funktionen mehrerer Variablen.- IX-1 Lokale und globale Extremwerte.- IX-1.1 Notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz lokaler Extrema.- IX-2 Sattelpunkte.- IX-3 Extremwerte unter Nebenbedingungen.- IX-3.1 Variablensubstitution.- IX-3.2 Der Lagrange-Ansatz.- IX-3.3 Die Kuhn-Tucker-Bedingungen.- 10 Integralrechnung.- 10.1 Das bestimmte Integral.- 10.2 Stammfunktionen.- 10.3 Rechenmethoden.- 10.3.1 Die Faktorregel der Integralrechnung.- 10.3.2 Die Summenregel der Integralrechnung.- 10.3.3 Partielle Integration.- 10.3.4 Die Substitutionsregel der Integralrechnung.- 10.3.5 Benutzung von Integraltafeln.- 10.4 Bestimmtes Integral und Flächeninhaltsproblem.- 10.5 Integrale mit Parametern.- X Integralrechnung.- X-1 Das bestimmte Integral.- X-2 Stammfunktionen.- X-3 Rechenmethoden.- X-3.1 Die Faktorregel der Integralrechnung.- X-3.2 Die Summenregel der Integralrechnung.- X-3.3 Partielle Integration.- X-3.4 Die Substitutionsregel der Integralrechnung.- X-4 Bestimmtes Integral und Flächeninhaltsproblem.- X-5 Integrale mit Parametern.- 11 Differentialgleichungen.- 11.1 Grundbegriffe der Differentialgleichungen.- 11.2 Trennung der Variablen.- 11.3 Totale DGLn.- 11.4 Homogene DGLn.- 11.5 Lineare DGLn 1. Ordnung.- 11.6 Lineare DGLn 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 11.6.1 Linear homogene DGLn 2. Ordnung.- 11.6.2 Linear inhomogene DGLn 2. Ordnung.- 11.7 Differenzengleichungen.- 11.7.1 Grundbegriffe.- 11.7.2 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 11.7.3 Lineare Differenzengleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- Lösungen zu den Übungsaufgaben.- Algorithmus zur Bestimmung von lokalen Extrema und Sattelpunkten.

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