Grundstrukturen der Analysis II

Grundstrukturen der Analysis II

by W. Gahler

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Overview

Grundstrukturen der Analysis II by W. Gahler

Zum Aufbau einer geeigneten, umfassenden Differentialrechnung in allgemei­ neren als normierten Räumen benötigt man bekanntlich Konvergenzbegriffe, die nur in Spezialfällen Topologien definieren. Das zeigt sich insbesondere beim Nachweis der Kettenregel höherer Ordnung. Will man etwa die Kettenregel zweiter Ordnung für Abbildungen t: X 0—+ Y und g: Y 0—+ Z beweisen, so bringt man die in der Kettenregel erster Ordnung auftretende Beziehung D(g 0 f) (x) = = Dg(t(x)) 0 Dt(x) unter Benutzung der Kompositionsabbildung y von L(X, Y) X L(Y, Z) in L(X, Z) in die Form D(g 0 f) (x) = (y 0 (Dt, Dg 0 t» (x). Der Nachweis der Kettenregel zweiter Ordnung erfolgt dann mittels der Ketten­ regel erster Ordnung, wobei man die Voraussetzungen so einrichtet, daß (Dt, Dg 0 t> in x und y in (Dt, Dg 0 t> (x) differenzierbar ist. Die Forderung, daß y differenzierbar ist, erweist sich als sehr einschränkend. Verlangt man, daß die Differenzierbarkeit die Stetigkeit nach sich zieht, so ist diese Forderung in Bezug auf Vektorraumtopologien von L(X, Y), L(Y, Z) und L(X, Z) im all­ gemeinen nicht erfüllt, zumindest nicht, wenn man noch annimmt, daß die Vektorraumtopologien so beschaffen sind, daß im Falle X = R oder C die natür­ lichen Zuordnungen zwischen Y und L(X, Y) und zwischen Z und L(X, Z) Iso­ morphien sind.

Product Details

ISBN-13: 9783764309664
Publisher: Birkhauser Basel
Publication date: 01/28/1978
Series: Lehrbucher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften / Mathematische Reihe Series , #61
Pages: 623
Product dimensions: 0.00(w) x 0.00(h) x (d)

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